検出力関数

2017/11/17

第1種の誤りと第2種の誤り

検定で必ず出てくる第1種の誤り第2種の誤りについて確認する。

第1種の誤り・・・帰無仮説H_0が正しいにも関わらず、H_0を棄却してしまう誤り

第2種の誤り・・・対立仮説H_1が正しいにも関わらず、H_0を採択してしまう誤り
となる。
通常、第1種の誤りよりも第2種の誤りの方が重大である。

検出力関数の定義

統計の参考書を読んでいると、数理統計学を扱う参考書ですら、
検出力という単語はでるものの、検出力関数という単語があまり出てこない。
(これを書いている時、私もそれで困っている。)
私が持っている参考書によると

検定関数をvarphi(oldsymbol{X})として

egin{eqnarray}
left{
egin{array}{l}
H_0 : heta in Theta_0
H_1 : heta in Theta_1
end{array}
ight.
end{eqnarray}
の検定問題を考えた時、対立仮説が正しい時に
egin{equation}
eta ( heta; varphi) := E_{ heta} (varphi (oldsymbol{X})) ;; ( heta in Theta_1)
end{equation}
H_1を受容する確率を表している。
つまりは検定varphi (oldsymbol{X})の良さを表しており、
これをvarphi(oldsymbol{X})検出力という。
eta (	heta; varphi)	hetaの関数と見たとき、etavarphi(oldsymbol{X})検出力関数と呼ぶ。

授業を受けたのでそれによると

検出力関数(power function)・・・棄却域Wを与えて、帰無仮説H_0を棄却(reject)する確率
で与えられ、

egin{equation}
eta_W( heta) = P((X_1,ldots,X_n) in W | heta in Theta)
end{equation}

で定義される。

1.特に	heta_1 in Theta_1の時、eta_W(	heta_1)を検出力(power)という

egin{equation}
eta_W( heta_1) = P((X_1,ldots,X_n) in W | heta_1 in Theta_1) ;; gets (大きいほうがよい)
= 1 - P((X_1,ldots,X_n) otin W | heta_1 in Theta_1); gets (第2種の誤り)
end{equation}

2.特に	heta in Thetaの時

egin{equation}
eta_W( heta_0) = P((X_1,ldots,X_n) in W | heta_0 in Theta_0) ;; gets (第1種の誤り)
end{equation}


参考文献

鈴木武・山田作太郎(2006)『数理統計学-基礎から学ぶデータ解析-』内田老鶴圃.
国沢清典(2012)『確率統計演習2-統計』培風館.
稲垣宣生(2013)『数理統計学』(数学シリーズ)裳華房.